Предположим, что в некоторой ситуации имеется n возможных взаимно исключающих исходов, которые мы обозначим через
х1,х2,..., хn Припишем исходу хi некоторое число pi = р(хi),
где рi>0- действительное число, pi > 0, р1, + р2 +. .+ рn = 1 Если
некоторое событие Е случается при одном из исходов хi, , . , хim и не происходит в других случаях,
то определим вероятность события Е равенством р(Е) = рii,+:+ рim
Приписывание начальных вероятностей p1, pn является оценкой относительного правдоподобия различных исходов.
Существует много практических ситуаций, в которых представляется разумным рассматривать n исходов как равновозможные. Тогда мы принимаем р1 = р2 = ... = рn = 1/n. В этом случае вероятность события Е, происходящего только при m возможных исходах, равна р(Е) = m/n. В такой ситуации вычисление р(Е) становится чисто комбинаторной задачей на подсчет m - числа возможных исходов, дающих событие Е.
Пусть имеется N урн, пронумерованных от 1 до N. Разместим в урны произвольным образом n шаров, где n < N.
Найдем вероятность того, что каждая из урн с номерами от 1 до n содержит точно по одному шару. Эта вероятность зависит от двух
условий:
Если n шаров различимы и принцип исключения не имеет места, то существует Nn способов размещения n шаров в N урнах и n! способов размещения их по одному в каждую из урн с номерами 1,..., n. Из этих условий и определяется вероятность
p(E)=n!/Nn | (*) |
Если шары различимы и принцип исключения имеет место, то первый шар может быть помещен в любую из N урн, следующий -
в любую из (N - 1) урн, 1-й - в любую из (N - i + 1) урн; следовательно, число способов размещения n шаров в N урнах равно
AnN, = N * (N - 1) *... * (N- n+ 1).
Эти шары могут быть размещены n! способами в урнах с номерами 1,.....n, и тогда искомая вероятность равна
p(E)=n!/ AnN=1/CnN | (**) |
Если шары неразличимы и принцип исключения не имеет места, то задача сводится к подсчету числа неотрицательных целочисленных решений уравнения х1, + х2 +...+ хn = n, где хi - число шаров в i-й урне. Оно равно числу сочетаний с повторениями из N элементов по n, т.е. CnN+n+1. Одно из решений: х1, = х2 = ... = хn = 1, хn+1 = ... = XN = 0. В этом случае искомая вероятность равна
p(E)=1/ CnN+n-1 | (***) |
Если шары неразличимы и имеет место принцип исключения, то число способов размещения шаров есть не что иное, как число сочетаний без повторений из N элементов по т, т.е. CnN,. Выбор первых n урн является единственно возможным и, следовательно, вероятность равна
p(Е)=1/CnN | (****) |
В статистической физике рассматривается некоторая совокупность т частиц (это могут быть протоны, электроны, мезоны, нейтроны, нейтрино или фотоны); каждая из них может находиться в любом из N "состояний" (это могут быть энергетические уровни). Макроскопическое состояние этой системы из n частиц задается вектором х = (х1, х2,..., XN), где х, -число частиц, находящихся в i-ом состоянии. Вероятность Р любого отдельного макроскопического состояния зависит от того, различимы ли эти частицы и подчиняются ли они принципу исключения Паули, который гласит, что никакие две (неразличимые) частицы не могут, находиться в одном и том же состоянии. Если рассматриваемые частицы различимы и не подчиняются принципу исключения, то вероятность Р дается формулой (*), и тогда говорят, что частицы подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана. Если частицы неразличимы и не подчиняются принципу исключения, то вероятность Р дается формулой (***), и тогда говорят, что частицы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Таковы фотоны и пи-мезоны.
Если частицы неразличимы и подчиняются принципу исключения, то вероятность Р дается формулой (****), и при этом говорят, что они подчиняются статистике Ферми-Дирака. Таковы электроны, протоны,нейтроны. Случай (**) различимых частиц, подчиняющихся принципу, исключения, в физике не встречается.
При достаточно высоких температурах, когда число состояний N велико и различные макроскопические состояния почти равновозможны, статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна практически совпадают со статистикой Максвелла-Больцмана. При низких температурах низкие энергетические уровни возможны чаще, чем высокие, и тогда приведенные модели следует различать.
![]() |
Практические задания |
![]() |
Tест для самоконтроля |