Множество - это совокупность объектов, называемых элементами
множества: запись аА обозначает принадлежность элемента а
множеству А, запись b
A обозначает, что элемент b не
принадлежит A. Множество Ø, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Равенство множеств A и B
(запись A=B) означает, что А и В состоят из одних и тех же элементов. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству
В, то говорят, что А есть подмножество В, или А входит в В (запись А
В). Среди подмножеств любого множества В - пустое
множество Ø и само В. Множества А и В равны, когда выполнены оба вхождения: А
В и В
А.
Множество считается заданным, если каким-либо образом указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. В таком случае задание множества выглядит так: {X:<условие P>} и читается: "множество элементов X, для которых выполнено условие P" (здесь X - обозначение элемента).
В ряде случаев целесообразно рассматривать несколько множеств в
качестве подмножеств универсального множества U. Множество элементов U,
которые не принадлежат некоторому множеству A
U, называется
дополнением множества А (обозначение -A ).
Если А, В - два множества, то с помощью теоретико-множественных
операций могут быть получены другие множества.
- Объединение С (обозначение С=АВ) - это
множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.
- Пересечение С (обозначение С=А В) - это множество
элементов, принадлежащих обоим множествам А и В.
- Разность С множеств А и В (обозначение С=А\В) - это множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.
Множества, обозначаемые теми же прописными латинскими буквами с
подстрочным знаком "+" или
"-", например Z+ или R - суть подмножества множеств Z и R, состоящие из чисел соответствующего знака.
Подмножества упомянутых числовых множеств, состоящие из чисел, находящихся между двумя числами a,b, называются промежутками:
- интервал (открытый промежуток) {X: a<X<b} обозначается (a,b); - отрезок (замкнутый промежуток) {X: a ≤ X ≤ b} обозначается [a,b]; a и b называются концами промежутка: отрезок содержит оба своих конца, интервал не содержит ни одного. Полуинтервалы (a,b] и [a,b), содержащие один конец промежутка, определяются анологично. Бесконечные промежутки (a,+Высказыванием называется любое повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл утверждать либо, что оно истинно, либо, что оно ложно (установить истинность того или иного высказывания бывает не просто - иногда для этого нужно решить серьезную задачу). Предложение, содержащее переменную, при различных значениях которой оно становится истинным или ложным, называется неопределенным высказыванием.
Из простых высказываний p,q строятся сложные с помощью следующих основных логических операций:
Обозначая истинность 1, а ложность - 0, можно задать упомянутые операции таблицами 1 и 2.
p | ┐p |
0 | 1 |
1 | 0 |
p | q | p ![]() |
p ![]() |
p![]() |
p![]() |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Неопределенному высказыванию P(X), содержащему переменную X,
можно сопоставить высказывания "для всех X P(X) истинно", обозначаемое
X: P(X), и "существует X такое, что P(X) истинно", обозначаемое
X: P(X).
Такие операции называются кванторами: квантором общности
и
квантором существования
.
X: P(X) -
высказывание истинное, если для всякого (каждого, любого) X выполнено P(X) и
ложное, если, напротив, существует X0, для которого P(X0)
ложно.
X: P(X) -
высказывание истинное, если хотя бы для одного X0 высказывание
P(X0) истинно, и ложное, если напротив, такого X0 нет,
т.е. для всех X
P(x) ложно.
Множество может быть задано перечислением его элементов, либо указанием характерного свойства, которым обладают элементы множества и только они.
Определить, обладает ли тот или иной объект заданным свойством и тем более найти все такие объекты, может быть сложной задачей. Например, найти множество корней уравнения означает решить уравнение. Решение вопроса о том, существует ли процедура распознавания тех или иных свойств математических объектов, относится к проблемам теории алгоритмов. Перечислим основные свойства этих операций. Пусть U -универсальное множество, A, B, C, - его подмножества, Ø - пустое множество. Равенства 1-10, 15-18 относятся к операциям объединения и пересечения; равенства 11-14 и 19-21 - к операции дополнения.
1 | A![]() ![]() |
2 | A![]() ![]() |
3 | (A![]() ![]() ![]() ![]() |
4 | (A![]() ![]() ![]() ![]() |
5 | (A![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
6 | (A![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
7 | A![]() |
8 | A![]() |
9 | A![]() ![]() |
10 | A![]() ![]() |
11 | ┐(A![]() ![]() |
12 | ┐(A![]() ![]() |
13 | A![]() |
14 | A![]() |
15 | A![]() |
16 | A![]() |
17 | A![]() |
18 | A![]() |
19 | ┐U = Ø | 20 | ┐Ø = U |
21 | ┐(┐A) = A |
Приведем также ряд свойств операции разности множеств.
Еще один способ задания множества связан с понятием порождающей процедуры.
Простейший пример - задание последовательности элементов множества формулой, содержащей параметр:
A={Xk=3+2(k2+1)}, k=0,1,2, ...
Задавая различные значения параметра k, мы можем вычислять элементы множества A: X0=5, X1=7, X2=13 и т.д. Подобное задание может быть явным, как в данном примере, или неявным, требующим разрешения. В частности, используются возвратные, или рекурентные соотношения. Например, числа Фибоначчи задаются условиями:
a1=1, a2=2, an=an-1+an-2 для n>2.
Последняя формула позволяет последовательно вычислять значенияВозможность выразить общий n-й член этой последовательности как явную функцию параметра n для того, чтобы можно было определить, например, значение a100, не вычисляя всех предыдущих, будет рассмотрена в разделе "Элементы комбинаторики"
Рассмотрим другой пример задания числового множества M порождающей процедурой:
Убедимся, что множество M конечно и состоит из 6 элементов, а именно
M ={5, 1/5, -4, -1/4, 4/5, 5/4}.
В самом деле, для каждого a, начиная со значения a=5, есть две возможности порождения новых элементов: операциями (2) и (3). При этом могут получаться и элементы, порожденные ранее. Так, из числа 5 операцией (2) получается 1/5, операцией (3) - число (-4), а из числа 1/5 операцией (2) - снова число 5.Рассмотрим схему порождения (рисунок 1), где операция (2) изображена одинарной стрелкой, а операция (3) - двойной. Схема показывает, что никаких других чисел процедуры (2) и (3) не дают.
Если же в правиле (3) заменить (1-а) на (2-а), то порождаемое множество будет бесконечным: из числа 5 чередующейся последовательностью операций (2) и (3) порождается последовательность чисел
1+4(k+1) |
![]() |
1+4k |
![]() |
1+4(k+2) | :![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
1+4k | 1+4(k+1) | 1+4(k+1) |
Введем еще одно понятие.
Разбиение множества U - система непустых подмножеств {Aa} множества U такая, что их объединение равно U (полнота разбиения), а все попарные пересечения - пусты (чистота разбиения). Сами Aa называются классами, или блоками разбиения. Система курсов данного факультета есть разбиение множества его студентов; система групп есть другое разбиение того же множества.
Другой пример: множество всех автомобилей может быть разными способами разбито на классы в зависимости от марки, объема двигателя, компании-производителя, года выпуска, стоимости и др.
При анкетировании или классификации объекты распределяются по группам; не входящие в ту или иную конкретную группу могут составлять группировку "прочие" - для полноты разбиения.
Пространство элементарных событий в некотором стохастическом эксперименте представляет собой разбиение достоверного события. Множество прямых на плоскости разбивается на бесконечную совокупность систем прямых, параллельных тому или иному направлению. Поверхность, представляющая в трехмерной системе координат график функции двух переменных, разбивается на линии уровня.
Множество квартир дома разбивается на подмножества квартир, расположенных на одном этаже; другое разбиение - на подмножества квартир из одного подъезда.
Если А и В - два подмножества универсального множества U, то 4 подмножества
D0=┐A┐B, D1=┐A
B, D2=A
┐B, D3=A
B
![]() |
![]() |
Рисунок 2 | Рисунок 3 |
Каждый элемент может входить в множество в единственном экземпляре, без повторений, в отличие, например, от выборки в математической статистике. Конечная последовательность любых объектов, среди которых могут быть и повторяющиеся, называется кортежем (или вектором). Сами объекты называются компонентами кортежа. Вектором обычно называется кортеж, состоящий из чисел. Кортеж обозначается так же, как вектор: а = (а1,а2, ..., а3); n называется длиной кортежа. Примером кортежа могут служить кортеж чисел, кортеж цифр в записи целого числа, кортеж букв в слове, кортеж слов во фразе.
Два кортежа называются равными, если у них при одинаковой длине совпадают первые элементы, вторые элементы и т.д. Поэтому, например, кортежи (7, 8, А , +, 8) и (7, 8, +, 8, А) различны, хотя имеют одинаковый состав.
Декартовым (прямым) произведением множеств называется:
A1![]() ![]() ![]() |
![]() |
n - раз |
Поэтому для функции
ƒ возрастающей на множестве А1, выполнено
условие (*) для Х1, Х2А1, т.е. (Х1, Х2)
(А1)2. Аналогично, при возрастании той же функции на множестве А2 условие (*) должно выполняться для (Х1, Х2)
(А2)2. На рисунке 4 штриховкой показаны оба этих множества, - для наглядности, А1 и А2 - два непересекающихся промежутка А1=[a, b], A2=[c, d]. В то же время, для возрастания функции
ƒ на объединении А1
А2 необходимо, чтобы условие (*) выполнялось для любой пары (Х1, Х2)
(А1, А2)2. Из рисунка 4 видно, что это множество на координатной плоскости состоит из 4 частей: двух квадратов [a, b]2 и [c, d]2 и двух произведений [a b]
[c,d] и [c, d]
[a, b]. В этих частях множества (А1
А2)2 условие (*) может выполняться не для всех пар (Х1, Х2). Поэтому из возрастания функции
ƒ отдельно на А1 и А2 не следует, вообще говоря, возрастание на их объединении. Рассмотрите, например, функцию Y=tgX в областях (0,π/2) и (π/2,3π/2) - рисунок 5.
![]() |
![]() |
Рисунок 4 | Рисунок 5 |
![]() |
Практические задания |
![]() |
Tест для самоконтроля |