назад

1.2 Алгебры

Алгебра - не только математическая дисциплина. Тот же термин обозначает вполне определенную структуру.

Алгеброй называется множество М вместе с заданной на нем системой операций Ω = (φi).
Ω называется сигнатурой алгебры, а М - носителем. Обозначение:

A=(M;Ω)=(М; (φ12, ...,φk).

Примеры
  1. (R;+, ∙ ), (N+, ∙ ), (Z;+, ∙ ) - алгебры на множестве соответственно, действительных, натуральных и целых чисел с операциями сложения и умножения.
  2. (F;D) и (Fэ,D) F - множество дифференцируемых функций действительной переменной, Fэ элементарных функций; D -оператор дифференцирования, ставящий в соответствие каждой функции ее производную.

Подобно изоморфизму отношений рассматривается изоморфизм двух алгебр А = (М;φ12,...,φk) и В = (N;Ψ12,...,Ψk) - взаимно однозначное соответствие Г между множествами М и N и операциями и φi, Ψi, при котором выполнено: Г(φi(m)) =Ψi(Г(m)) для всех m,φii.

Подчеркнем, что изоморфизм - это не просто взаимно однозначное соответствие (его - для конечных множеств - можно установить между любыми двумя множествами с одинаковым числом элементов). Смысл этого понятия состоит в том, что если выполнить в алгебре А какие-либо операции над определенными элементами множества М и соответствующие операции в алгебре В над соответствующими элементами множества N , то результаты операций также будут соответствовать друг другу.

Примеры
  • Алгебры (Z;+) и (Z3;+), где Z3 - множество целых чисел, кратных трем, изоморфны, в силу соответствия Г = n Зn. Так, например, сложению 5 + 8 = 13 будет соответствовать сложение 15+24 = 39, что можно проиллюстрировать схемой
    n:  5  +  8 =13 
    |   |     |   |
    3n: 15 + 24 =39
    
  • Алгебры (R+; ∙ ) и (R;+), где R+ - множество положительных действительных чисел, изоморфны, в силу соответствия Г = аlog a
    (ввиду тождества log ab = log а + log b). Это также проиллюстрируем схемой

    a:      8 ∙ 64 = 512
    log2a: 3 + 6 = 9 (3=log28; 6=log264; 9=log2512)

    В этом примере только для наглядности участвуют целые степени числа 2, чтобы их двоичные логарифмы были целыми числами.

  • Алгебры (М;) и (М;) на булеане В(М) произвольного множества М изоморфны. Изоморфизм устанавливается соответствием Г(L) = ┐L,L М. В самом деле, Г(L1 L2) = ┐( L1 L2) = [в силу закона де Моргана] = ┐L1 ┐L2 = Г(L1) (L2).

    Противоположный пример: алгебры (Z;+) и (Z2;+), где Z2 -множество целочисленных двумерных векторов, не изоморфны. Хотя оба множества Z2 и Z - счетны, т.е. между ними можно (многими способами) установить взаимно-однозначное соответствие, но не удастся сделать это так, чтобы сумма векторов, поставленных в соответствие двум числам всегда соответствовала сумме этих чисел. Конечно, это требует доказательства, но мы его здесь не приводим.

    Особое значение имеет следующий пример.

    Алгебра (В(Е); , , -), т.е. алгебра на булеане В(Е) с операциями объединения, пересечения и дополнения называется алгеброй множеств на множестве Е, или алгеброй Кантора.

    Частично упорядоченное множество элементов булеана В(Е) имеет наименьший элемент Ø и наибольший Е. Для системы подмножеств множества Е выполняются свойства 1-21,

    Если трактовать операцию как сложение, операцию как умножение, а операцию дополнения ┐А как (-А), то некоторые, но не все, из равенств 1-21 схожи с соответствующими свойствами арифметических действий над числами: 1-4 -коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, 5 -дистрибутивность умножения относительно сложения, 7-10 и 15-18 напоминают свойства функций mах и mim; Ø играет роль нуля при сложении и умножении, a U - роль единицы при умножении.

    Изоморфизм между отношением М N на булеане В(Е) n -элементного множества Е и отношением делимости на множестве DH делителей натурального числа Н, если Н есть произведение n различных простых чисел, можно распространить на изоморфизм между алгебрами. Для этого достаточно определить на множестве делителей Н операции HOK(a,b) - наименьшее общее кратное чисел а и b, НОД(а,b) - наибольший общий делитель чисел а и b и поставить в соответствие простым делителям числа Н одноэлементные подмножества множества Е (для простоты будем обозначать их теми же символами: а,b,...). Тогда для соответствия (обозначаемого символом ) между подмножествами Е и произведениями различных простых делителей Н выполнены соотношения:

    EDH, ab HOK(a,b), ab HOД(a,b), ┐aH/a
    и это соответствие есть изоморфизм.

    Как видно из рассмотренных примеров, если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции В можно переименовать так, что В совпадет с А. Из основного равенства в определении изоморфизма следует, что любое эквивалентное соотношение в алгебре А - сохраняется в каждой изоморфной ей алгебре В. Это позволяет, получив такие соотношения в алгебре А, автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные А. Распространенное в математике выражение "рассматривать объекты с точностью до изоморфизма" означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т.е. являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность.

    Установление изоморфизма между какими-либо системами имеет большое практическое значение. Оно сродни точному переводу на другой язык описания явлений. Когда, например, аналитическая геометрия устанавливает соотношения между геометрическими объектами - линиями или поверхностями и их аналитическими представлениями в виде уравнений, или в курсе математического анализа мы выясняем геометрический смысл производной, дифференциала или интеграла, мы получаем возможность выбирать и использовать при исследованиях и в прикладных задачах наиболее удобное для данного случая представление. В некоторых задачах изоморфизм систем служит основанием для моделирования объектов и их взаимодействия.

     

    Вопросы для самоконтроля

    1. Дайте определение понятию алгебра.
      Приведите примеры.
    2. Сформулируйте определение изоморфизма двух алгебр.
    3. Дайте определение понятию алгебра Кантора.
      Приведите примеры.

    Практические задания

    Tест для самоконтроля