Логические формулы. Булева алгебра

Практичеcкие задания

Задание 1

Доказать, что формула тождественно истина

  1. (P→Q) → ((P→ (Q→R)) → (P→R)
  2. P→ (Q→ (P Q))
  3. P→P Q
  4. P Q→P
  5. (P→Q R) ↔ ((P→Q) (P→R))
  6. ((P→Q) (P→Q)) →┐P

Задание 2

Найти более простые формулы

  1. (x y) (x y) (x y)
  2. x y z x y z x y z

Задание 3

Пусть высказывания X,Y,Z, υ, ν, W имеют значения соответственно 1,0,0,1,1,1. Определить истинностные значения каждого из следующих высказываний:

  1. W→(Y Z);
  2. ┐(X Y)
  3. ┐(X →Y) → (X ν))
  4. ┐(X Y) (Z→ (υ→ (υ W)

Задание 4

Для каждого из предлагаемых высказываний определить, достаточно ли приведенных сведений, чтобы установить истинное значение высказывания. Если достаточно, то указать значение высказывания:

  1. (X→Y) →Z , где Z истинно;
  2. X (Y→ Z) , где импликация истинна;
  3. X (Y→ Z) , где импликация истинна;
  4. (X Y) → (Z Z) , где конъюнкция истинна, а дизъюнкция ложна;

Задание 5

Верны ли равенства:

  1. (X Y)=X;
  2. X →Y = ┐X Y;
  3. X Y = (┐X Y) (┐Y X);
  4. X (Y X) = X;
  5. ┐X = X;
  6. ┐(A→B) = A ┐B?

Задание 6

Дано высказывание: "Для того, чтобы матрица имела обратную матрицу, необходимо, чтобы ее определитель был отличен от нуля". Какие из следующих высказываний являются его следствиями:

  1. для того, чтобы матрица имела обратную, достаточно, чтобы ее определитель был равен 0;
  2. для того, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля, достаточно, чтобы эта матрица имела обратную;
  3. для того, чтобы определитель матрицы был равен 0, необходимо, чтобы эта матрица не имела обратной;
  4. определитель матрицы равен 0 только тогда, когда эта матрица не имеет обратной;

Задание 7

Исходя из определения логической формулы, определить, являются ли формулами следующие выражения:

  1. (((A v B) ┐C) ~ D) & ((A C) ┐D).
  2. ((A ┐B) C) ~ (D & B).

Задание 8

Записать логическими формулами следующие сложные высказывания:

  1. "Этот человек студент или предприниматель".
  2. "Петров женат на Марье Ивановне или Лукерий Ильиничне".
  3. "Если при выполнении программы отклонение контролируемых параметров превышает предусмотренные нормы (стандарты), то требуется оперативная корректировка программы или уточнение стандартов".

Задание 9

Представить формулами логики высказываний следующие суждения (сложные высказывания):

  1. "Если темпы роста рынка продукта корпорации высокие и размер контролируемой ею доли рынка также высок, то в соответствии с матрицей портфельного анализа этот продукт относится к категории 'звезда'; он дает большой доход, но требует значительных вложений".
  2. "Стратегическая хозяйственная единица корпорации занимает сильные позиции на рынке и работает в привлекательной отрасли, следовательно, имеет наиболее высокий приоритет при распределении ресурсов".
  3. "Если стратегическая хозяйственная единица корпорации - лидер в непривлекагельной (возможно, старой) отрасли, ее стратегией может быть максимизация прибыли на уже вложенный капитал, но не вложение нового".
  4. "Если при высокой доле рынка темпы роста рынка низкие, то продукт относится к категории 'денежного мешка', или 'дойной коровы'; он дает большие доходы и характеризуется малыми затратами в связи со стабильностью рынка".
  5. "Если прогноз показывает, что можно получить крупную прибыль на выпуске новых товаров, то при разработке стратегии развития фирме следует сделать упор на маркетинг и сеть распределения, а также целесообразно открыть более крупные магазины и расширить торговую сеть".
  6. "В ситуации, где жизненно необходимо расширение фирмы или где ключевые патенты или ключевые ресурсы находятся в руках у других компаний, а данной фирме недостает технических знаний, лучшей стратегией для нее является приобретение (предприятий)".

Задание 10

Записать логической формулой следующий текст:
"Если компьютер при запуске не выдает ошибку при проверке оперативной памяти, то она исправна. Если при запуске он выдает ошибку при проверке оперативной памяти и память установлена правильно, то либо оперативная память дефектна, либо дефектна материнская плата. Тогда если эта оперативная память правильно установлена в другой (контрольный) компьютер и он при запуске не выдает ошибку при проверке оперативной памяти, то оперативная память исправна".

Задание 11

Записать логической формулой следующую пословицу:
"Не ел - не мог, поел - без ног".

Задание 12

Составить таблицы Кэли для основных логических связок - бинарных логических операций.