1.3 Суперпозиция функций

n-местная функция (функция n переменных) - функция типа А1 А2 ... Аn B;
другая форма записи:
ƒ (а1, а2, .., аn)=b, где ai Ai, bB, где ai AibB.
Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень являются двуместными функциями. Двуместными функциями являются также max(X,Y) и min(X,Y):
max(X,Y)= X, если XY
Y, если X<Y
min(X,Y)= X, если X ≤ Y
Y, если X>Y

Функции обычно задаются вычислительными процедурами, позволяющими по значению аргументов определить значение функции. Примерами вычислительных процедур могут считаться формулы, графики, таблицы. В понятии формулы важным элементом является операция подстановки, или суперпозиции, позволяющая из одних функций получать другие. Разберем это понятие подробнее.

Суперпозиция функций - функция, полученная из системы функций ƒ, ƒ1, ƒ2, .., ƒk некоторой подстановкой функций ƒ1, ƒ2, .., ƒk во внешнюю функцию ƒ вместо переменных и переименованиями переменных.

Примеры
  • Суперпозицией внешней функции ƒ(X, Y) = X/Y и функцией t1(X) = X и t2(X)= ax является функция
    h(X) = ƒ( t1(X), t2(X)) = X/ ax или функция k(Y,Z) = Y/az .
  • Суперпозициями внешней функции ƒ(X, Y, Z) = 3X+ 5Y2 -Z и функций g1(X, Y) = X-Y и g2(X) = ln(X) являются, например:
    1. h1(X, Z) = 3(X - Z)+ 5ln2(Z) - Z [вместо Х в функцию ƒ подставляется g1(X,Z) =X-Z, а вместо Y - функция g2(Z) = ln(Z)];
    2. h2(X, Y, Z, S) = 3ln(Y) + 5(Z-X)2- ln(S-Z) [вместо X в функцию ƒ подставляется g2(Y) = ln(Y); вместо Y - функция g1(X,Z) =X-Z; вместо Z - суперпозиция функций g2(g1(S, Z)) = ln(S -Z)].
  • Класс элементарных функций есть множество всех суперпозиций так называемых основных элементарных функций (одноместных: степенных, показательных, логарифмических, тригометрических и обратных тригометрических) и двуместных функций, представляющих арифметические операции.

    Замечание. Среди основных элементарных функций нет двуместной функции Z = XY . Ее можно выразить суперпозицией других функций: логарифмической S=ln(X), показательной T= ex и умножения в силу тождества XY = eYlnX.

    Как видно из примеров, в суперпозиции функций могут изменится как сами переменные, так и их число. Заметим также, что, выполняя подстановки, мы преобразовывали формулы, выражающие функции. Формула - это выражение, описывающее суперпозицию и содержащее функциональные знаки, символы независимых переменных (аргументов) и констант (параметров). Формула с использованием скобок определяет порядок действий при вычислении значений функции. Специальные договоренности, позволяющие упростить вид формулы, освобождает ее от некоторых скобок: так в арифметике принято, что умножение и деление связывают сильнее, чем сложение и вычитание, и одночленные сомножители не заключаются в скобки.

    Суперпозицию удобно представлять в виде символической схемы вычисления. Если рассмотреть n-местную функцию Z = ƒ (X1,X2, ...,Xn) как вычислительный элемент с n входами и одним выходом (рисунок 6), то суперпозиция представляет собой соединение таких элементов в схему. Определим индуктивно понятие вычислительной схемы (обратите внимание на то, как строится определение: вводятся некоторые начальные объекты, и задаются способ образования из них других, более сложных объектов; такой тип определения называют индуктивным).

    Пусть имеется конечное множество объектов Si, которые будем называть структурными элементами. Каждый элемент имеет ni входов и 1 выход. Графически элемент Si изображается треугольником, в основание которого входят ni занумерованных стрелок, а из вершины исходит одна (рисунок 6а). Сеть из структурных элементов определяется следующим образом.

    1. Каждый элемент Si является сетью, входы и выходы сети - cоответственно, входы и выходы элемента S.
    2. Пусть S - структурный элемент с m входами и ∑1, ∑2, ..., ∑m - сети из структурных элементов. Тогда соединение ∑ этих сетей, изображено на рисунке 6б, является сетью: ее входы - объединение входов сетей ∑1,∑2, ...,∑m , выходы сетей ∑1,∑2, ...,∑m присоединены в определенном порядке к элементу S в качестве входов. Заметим, что у сетей ∑i и ∑j могут быть пересекающиеся множества входов. Выходом сети ∑ считается выход элемента S. Сети ∑1,∑2, ...,∑m называются подсетями, а их элементы вместе с элементом S - элементами сети ∑.
    Рисунок 6 Рисунок 6
    Рисунок 6аРисунок 6б

     

    Схемой из функциональных элементов называется сеть, элементам которой приписаны (сопоставлены) функции, так что элементу S с k входами соответствует k-местная функция ƒS(X1, ...,Xk). Будем говорить, что элемент S реализует функцию ƒS(X1, ...,Xk). Значения выходов одних элементов служат значениями аргументов для функций других элементов в соответствии со структурой схемы, причем важен порядок аргументов. Если функция ƒS, сопоставленная некоторому элементу S, не определена на каком-либо наборе значений своих аргументов, то не определены значения выхода S и не определенны все функции элементов, на входы которых поступают значения ƒS.

    Рисунок 7 демонстрирует разницу в реализуемых функциях при различном порядке присоединения.

    Рисунок 7
    Рисунок 7

     

    На рисунке 8 приведен пример схемы, состоящей из 7 элементов четырех типов: 1-местная ƒ4, 2-местные ƒ1 и ƒ3 и 3-местная ƒ2. Обратите внимание, что элемент S3 реализует, в отличие от элемента S7, функцию ƒ3 от совпадающих аргументов ƒ3(Z,Z). В целом схема реализует следующую суперпозицию:
    W(X,Y,Z,T) = ƒ3ƒ11(X,Z), ƒ2(X,Y,T)], ƒ22(X,Y,T), ƒ4(T), ƒ3(Z,Z)]

    Рисунок 8
    Рисунок 8

     

    Разберем конкретные примеры.

    1. Пусть Z = sin((3XY)+ln(X-Y)). На рисунке 9 изображена схема из одно- и двухвходовых элементов, реализующих одноместные функции: sin(t), t, ln(t) и двуместные функции: сумму, разность, произведение.

      Рисунок 9
      Рисунок 9

       

      Вычислительная процедура определяется, вообще говоря, неоднозначно, и зависит от того, какие функции приняты за исходные. Так, функция Z=X3 может рассматриваться как элементарная функция (рисунок 10а), как каскад из двух умножений Z = (X ∙ X) ∙ X (рисунок 10б), или как частный случай двуместной функции Z = XY при Y=3 (рисунок 10в). В последнем случае мы встречаемся с функцией константой g=3.

      Рисунок 10
      Рисунок 10

       

    2. Построим схему вычисления выборочного среднего Мх и выборочной дисперсии Dх для статистической выборки X = (a,b,c) объема 3. Из математической статистики известно, что Mx = (a+b+c)/3, Dx = M(x2) - (Mx)2 = (a2+b2+c2)/3 - ((a+b+c)/3)2. Схема вычисления представлена на рисунке 11. Строго говоря, в условии требуется построить 2 схемы: Mx и Dx. Однако вычисление Mx является промежуточным результатом при вычислении Dx; поэтому мы построили одну схему с 2 выходами, что, конечно, не вполне соответствует данному нами определению схемы из функциональных элементов.

      Рисунок 11
      Рисунок 11

     

    Рассмотрим еще один пример функционального соответствия. Пусть U - универсальное множество;
    MU - некоторое его подмножество, В=0,1 - множество из двух чисел 0 и 1.

    Характеристическая функция множества M U - отображение : UB, ставящая в соответствие элементам множества М единицу, а элементам дополнения ┐М - ноль. Легко проверяются следующие свойства характеристической функции множеств, получаемых из множеств M, N операциями дополнения, пересечения, объединения и разности:




    С помощью характеристической функции удобно устанавливать некоторые соотношения между множествами.

    Пример
    Доказать,что M(MN)=M.
    Обозначим =A, =B и докажем соответствующее числовое равенство:
    (MN) =A+AB-A ∙ AB[поскольку A=0 или 1, то A ∙ A=A]=A+AB-AB=A=

     

    Вопросы для самоконтроля

    1. Дайте определение понятиям образ и прообраз.
      Приведите примеры.
    2. Сформулируйте опреление функционального соответствия AB.
      Самостоятельно изучите соответствия:биекцию, сюрьекцию, инъекцию ,в чем их различие.
    3. Объясните понятие суперпозиции функций.
    4. Изобразите структурные элементы.
    5. Как определяется сеть?
    6. Дайте определение понятию характеристическая функция.

    Практические задания

    Tест для самоконтроля