1.7 Операции на множестве

Ранее рассматривались операции над множествами и их подмножествами, такие как объединение, пересечение, разность, дополнение. Результатом операции являлось некоторое множество. Теперь рассмотрим операции над элементами множества, результатом которых являются снова элементы этого же или другого множества. Раздел математики, изучающий общие свойства операций называется общей алгеброй, наряду с другими разделами: линейной алгеброй, векторной алгеброй, матричной алгеброй.

n-арная операция на множестве М - отображение φ типа: Мn М, где М - произвольное множество, не обязательно числовое; обозначение: φ(m1,m2, ...,mn) =m . Для n=2 операция называется бинарной и вместо φ(a,b) употребляется aφb (ср. а+b, a-b, ab и т.п.).

Частным случаем n -арной операции, когда М - числовое множество, является n-местная функция. Если же М - множество функций, то употребляют термин оператор: примером могут служить операторы дифференцирования функции одной или нескольких действительных переменных, ставящие в соответствие каждой функции ее производную или частную производную.

Множество М называется замкнутым относительно операции φ, если выполнено условие аМ:
φ(a)M, т.е. применение операции не выводит за пределы множества М .

Примеры
  1. Множества действительных, рациональных, целых чисел замкнуты относительно операций сложения, вычитания, умножения, причем первые два множества замкнуты и относительно операции деления (исключая деление на 0). Множество целых чисел не замкнуто относительно деления.

  2. Множество четных целых чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения: сумма и произведение четных чисел также четны. Напротив, множество нечетных чисел не замкнуто относительно тех же операций.

    Если для некоторой операции φ рассмотреть отношение R: αRβ, если β=φ(α) или α=φ(β), то для любых двух элементов γ,δ множества, замкнутого относительно операции φ, выполнено γδ) , где - транзитивное замыкание отношения R .

 

Вопросы для самоконтроля

  1. Дайте определение n-арной операции на множестве M.
  2. Сформулируйте определение множества M, замкнутого относительно операции φ.
    Приведите примеры.

Практические задания

Tест для самоконтроля