Отношение порядка

Практические задания

Задание 1

Указать каким из отношений, приведенных в таблицe, являются порядком:

Множество SОтношение ρ
1.Произвольное(a,b) ≤ ρ, если a=b
2.Произвольное(a,b) ≤ ρ, если a и b лежат в одном смежном классе данного раз. ∑ множества S
3.Z(m,n) ≤ ρ, если m≤n
4.Z(m,n) ≤ ρ, если m делит n (считается что 0 делит 0)
5.Z+U{0}(m,n) ≤ ρ, если m делит n
6.Все подмножество данного множества(A,B) ≤ ρ, если A c B
7.Все подмножество данного множества(A,B) ≤ ρ, если A B не пусто
8.Множество действительных функций(f,g) ≤ ρ, если f(x) ≤g(x) для любого x
9.Множество действительных функций(f,g) ≤ ρ, если f(x) ≤g(x) для некоторого x

Задание 2

Указать какие из отношений являются порядком

  1. множество S - произвольное, (a,b) ≤ ρ , если a=b
  2. множество S - произвольное, (a,b) ≤ ρ , если a и b лежат в одном смежном классе данного разбиения
  3. множество S - множество целых чисел, (m,n) ≤ ρ, если m≤n
  4. Z+U{0},(m,n) ≤ ρ, если m делит n
  5. Все подмножество данного множества, (A,B) ≤ ρ,если A в B
  6. Все подмножества данного множества, (A,B) ≤ ρ, если A∩B≠Ǿ
  7. S - множество действительных функций (f,g) ≤ ρ, если f(x) ≤g(x), для любого x
  8. S - множество действительных функций (f,g) ≤ ρ, если f(x) ≤g(x), для некоторого x

Задание 3

Доказать, что S и ┐S задают разбиением множества υ. Проиллюстрировать это на диаграмме Венна.

Задание 4

Приведите пример множеств с зафиксированными на них различными порядками.

Задание 5

Привести примеры частично упорядоченных множеств:

  1. без 0;
  2. без 1;
  3. без 0 и 1;

Задание 6

Доказать, что во всяком конечном частично упорядоченном множестве существуют как максимальные, так и минимальные элементы.

Задание 7

Пусть M = β(A), A = {1, 2, 3, 4}. Найти все элементы (пары) отношения R на М, если R означает:

  1. ;
  2. ;
  3. "пересекаться с";
  4. "быть дополнением к".

Задание 8

Пусть отношение R задано на М = {1, 2, 3, ...,9}. Выписать все элементы множества R, если:

  1. R = {(a, b)}: a,b M; (a+1) - делитель (a+b)};
  2. R = {(a, b)}: a,b M; a - делитель (a+b), a1};

Задание 9

Какими свойствами характеризуются следующие отношения на М = {1, 2, 3, ...,9}:

  1. R1 = {(a, b)}: (a-b) - четное};
  2. R2 = {(a, b)}: (a+b) - четное};
  3. R3 = {(a, b)}: (a+1) - делитель (a+b)};
  4. R4 = {(a, b)}: a - делитель (a+b), a1};