n-местная функция (функция n переменных) - функция типа
А1
А2
...
Аn
B;
другая форма записи:
ƒ
(а1, а2, .., аn)=b, где ai
Ai, b
B,
где ai
Aib
B.
Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень являются двуместными
функциями. Двуместными функциями являются также max(X,Y) и min(X,Y):
|
|
Функции обычно задаются вычислительными процедурами, позволяющими по значению аргументов определить значение функции. Примерами вычислительных процедур могут считаться формулы, графики, таблицы. В понятии формулы важным элементом является операция подстановки, или суперпозиции, позволяющая из одних функций получать другие. Разберем это понятие подробнее.
Суперпозиция функций - функция, полученная из системы функций ƒ, ƒ1, ƒ2, .., ƒk некоторой подстановкой функций ƒ1, ƒ2, .., ƒk во внешнюю функцию ƒ вместо переменных и переименованиями переменных.
Как видно из примеров, в суперпозиции функций могут изменится как сами переменные, так и их число. Заметим также, что, выполняя подстановки, мы преобразовывали формулы, выражающие функции. Формула - это выражение, описывающее суперпозицию и содержащее функциональные знаки, символы независимых переменных (аргументов) и констант (параметров). Формула с использованием скобок определяет порядок действий при вычислении значений функции. Специальные договоренности, позволяющие упростить вид формулы, освобождает ее от некоторых скобок: так в арифметике принято, что умножение и деление связывают сильнее, чем сложение и вычитание, и одночленные сомножители не заключаются в скобки.
Суперпозицию удобно представлять в виде символической схемы вычисления. Если рассмотреть n-местную функцию Z = ƒ (X1,X2, ...,Xn) как вычислительный элемент с n входами и одним выходом (рисунок 6), то суперпозиция представляет собой соединение таких элементов в схему. Определим индуктивно понятие вычислительной схемы (обратите внимание на то, как строится определение: вводятся некоторые начальные объекты, и задаются способ образования из них других, более сложных объектов; такой тип определения называют индуктивным).
Пусть имеется конечное множество объектов Si
, которые будем
называть структурными элементами. Каждый элемент имеет ni входов и 1 выход. Графически элемент Si изображается треугольником, в основание которого входят ni занумерованных стрелок, а из вершины исходит одна (рисунок 6а). Сеть из структурных элементов определяется следующим образом.
![]() |
![]() |
Рисунок 6а | Рисунок 6б |
Схемой из функциональных элементов называется сеть, элементам которой приписаны (сопоставлены) функции, так что элементу S с k входами соответствует k-местная функция ƒS(X1, ...,Xk). Будем говорить, что элемент S реализует функцию ƒS(X1, ...,Xk). Значения выходов одних элементов служат значениями аргументов для функций других элементов в соответствии со структурой схемы, причем важен порядок аргументов. Если функция ƒS, сопоставленная некоторому элементу S, не определена на каком-либо наборе значений своих аргументов, то не определены значения выхода S и не определенны все функции элементов, на входы которых поступают значения ƒS.
Рисунок 7 демонстрирует разницу в реализуемых функциях при различном порядке присоединения.
![]() |
Рисунок 7 |
На рисунке 8 приведен пример схемы, состоящей из 7 элементов четырех
типов: 1-местная
ƒ4, 2-местные
ƒ1 и
ƒ3 и 3-местная
ƒ2. Обратите внимание, что элемент S3 реализует, в отличие от элемента S7, функцию
ƒ3 от совпадающих аргументов
ƒ3(Z,Z). В целом схема реализует следующую суперпозицию:
W(X,Y,Z,T) =
ƒ3ƒ1[ƒ1(X,Z),
ƒ2(X,Y,T)],
ƒ2[ƒ2(X,Y,T),
ƒ4(T),
ƒ3(Z,Z)]
![]() |
Рисунок 8 |
Разберем конкретные примеры.
Пусть Z = sin((3XY)+ln(X-Y)). На рисунке 9 изображена схема из одно- и
двухвходовых элементов, реализующих одноместные функции: sin(t),
t, ln(t) и двуместные функции: сумму, разность, произведение.
![]() |
Рисунок 9 |
Вычислительная процедура определяется, вообще говоря, неоднозначно, и зависит от того, какие функции приняты за исходные. Так, функция Z=X3 может рассматриваться как элементарная функция (рисунок 10а), как каскад из двух умножений Z = (X ∙ X) ∙ X (рисунок 10б), или как частный случай двуместной функции Z = XY при Y=3 (рисунок 10в). В последнем случае мы встречаемся с функцией константой g=3.
![]() |
Рисунок 10 |
Построим схему вычисления выборочного среднего Мх и выборочной дисперсии Dх для статистической выборки X = (a,b,c) объема 3. Из математической статистики известно, что Mx = (a+b+c)/3, Dx = M(x2) - (Mx)2 = (a2+b2+c2)/3 - ((a+b+c)/3)2. Схема вычисления представлена на рисунке 11. Строго говоря, в условии требуется построить 2 схемы: Mx и Dx. Однако вычисление Mx является промежуточным результатом при вычислении Dx; поэтому мы построили одну схему с 2 выходами, что, конечно, не вполне соответствует данному нами определению схемы из функциональных элементов.
![]() |
Рисунок 11 |
Рассмотрим еще один пример функционального соответствия. Пусть U - универсальное множество;
MU - некоторое его подмножество, В=
0,1
-
множество из двух чисел 0 и 1.
Характеристическая функция множества M
U -
отображение
: U
B,
ставящая в соответствие элементам множества М единицу, а элементам дополнения ┐М - ноль. Легко проверяются следующие свойства характеристической функции множеств, получаемых из множеств M, N операциями дополнения, пересечения, объединения и разности:
![]() ![]() ![]() ![]() |
С помощью характеристической функции удобно устанавливать некоторые соотношения между множествами.
Пример
Доказать,что M(M
N)=M.
Обозначим =A,
=B и докажем соответствующее числовое равенство:
(M
N)
=A+AB-A ∙ AB[поскольку A=0 или 1, то A ∙ A=A]=A+AB-AB=A=
![]() |
Практические задания |
![]() |
Tест для самоконтроля |