Алгебра - не только математическая дисциплина. Тот же термин обозначает вполне определенную структуру.
Алгеброй называется множество М вместе с заданной на нем системой операций Ω = (φi).
Ω называется сигнатурой алгебры, а М - носителем. Обозначение:
A=(M;Ω)=(М; (φ1,φ2, ...,φk).
Подобно изоморфизму отношений рассматривается изоморфизм двух алгебр А = (М;φ1,φ2,...,φk) и В = (N;Ψ1,Ψ2,...,Ψk) - взаимно однозначное соответствие Г между множествами М и N и операциями и φi, Ψi, при котором выполнено: Г(φi(m)) =Ψi(Г(m)) для всех m,φi,Ψi.
Подчеркнем, что изоморфизм - это не просто взаимно однозначное соответствие (его - для конечных множеств - можно установить между любыми двумя множествами с одинаковым числом элементов). Смысл этого понятия состоит в том, что если выполнить в алгебре А какие-либо операции над определенными элементами множества М и соответствующие операции в алгебре В над соответствующими элементами множества N , то результаты операций также будут соответствовать друг другу.
n: 5 + 8 =13 | | | | 3n: 15 + 24 =39
В этом примере только для наглядности участвуют целые степени числа 2, чтобы их двоичные логарифмы были целыми числами.
Противоположный пример: алгебры (Z;+) и (Z2;+), где Z2 -множество целочисленных двумерных векторов, не изоморфны. Хотя оба множества Z2 и Z - счетны, т.е. между ними можно (многими способами) установить взаимно-однозначное соответствие, но не удастся сделать это так, чтобы сумма векторов, поставленных в соответствие двум числам всегда соответствовала сумме этих чисел. Конечно, это требует доказательства, но мы его здесь не приводим.
Особое значение имеет следующий пример.
![]() |
Алгебра (В(Е); ,
, -),
т.е. алгебра на булеане В(Е) с операциями объединения, пересечения и дополнения
называется алгеброй множеств на множестве Е, или алгеброй Кантора.
Частично упорядоченное множество элементов булеана В(Е) имеет наименьший элемент Ø и наибольший Е. Для системы подмножеств множества Е выполняются свойства 1-21,
Если трактовать операцию как сложение,
операцию
как умножение, а операцию дополнения ┐А как (-А), то некоторые, но не все, из равенств 1-21 схожи с соответствующими свойствами арифметических действий над числами: 1-4 -коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, 5 -дистрибутивность умножения относительно сложения, 7-10 и 15-18 напоминают свойства функций mах и mim; Ø играет роль нуля при сложении и умножении, a U - роль единицы при умножении.
Изоморфизм между отношением М N на булеане В(Е) n -элементного множества Е и отношением делимости на множестве DH делителей натурального числа Н, если Н есть произведение n различных простых чисел, можно распространить на изоморфизм между алгебрами. Для этого достаточно определить на множестве делителей Н операции HOK(a,b) - наименьшее общее кратное чисел а и b, НОД(а,b) - наибольший общий делитель чисел а и b и поставить в соответствие простым делителям числа Н одноэлементные подмножества множества Е (для простоты будем обозначать их теми же символами: а,b,...). Тогда для соответствия (обозначаемого символом
) между подмножествами Е и произведениями различных простых делителей Н выполнены соотношения:
E![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Как видно из рассмотренных примеров, если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции В можно переименовать так, что В совпадет с А. Из основного равенства в определении изоморфизма следует, что любое эквивалентное соотношение в алгебре А - сохраняется в каждой изоморфной ей алгебре В. Это позволяет, получив такие соотношения в алгебре А, автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные А. Распространенное в математике выражение "рассматривать объекты с точностью до изоморфизма" означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т.е. являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность.
Установление изоморфизма между какими-либо системами имеет большое практическое значение. Оно сродни точному переводу на другой язык описания явлений. Когда, например, аналитическая геометрия устанавливает соотношения между геометрическими объектами - линиями или поверхностями и их аналитическими представлениями в виде уравнений, или в курсе математического анализа мы выясняем геометрический смысл производной, дифференциала или интеграла, мы получаем возможность выбирать и использовать при исследованиях и в прикладных задачах наиболее удобное для данного случая представление. В некоторых задачах изоморфизм систем служит основанием для моделирования объектов и их взаимодействия.
![]() |
Практические задания |
![]() |
Tест для самоконтроля |